부정적분. 부정 적분의 계산

수학적 분석의 기본적인 부분 중 하나는 적분이다. 그것은 부정적분입니다 - 그것은 최초의 객체의 매우 광범위한 분야를 다루고 있습니다. 고등학교 여전히 키가 높은 수학을 설명 전망과 기회의 증가를 보여 같은 위치 그것은 의미합니다.

외관

언뜻보기에, 그것은 현대적인 화제에 완전히 통합 보이지만, 실제로 그가 다시 1800 년 온 것으로 나타났다 BC. 우리에게 그 존재의 이전 기록에 도달하지 않았으로 홈 공식적으로 이집트로 간주합니다. 이 때문에 정보의 부족으로 모든 동안은 현상으로 간단하게 위치. 그는 다시 한 번 그 시대의 사람들의 과학 발전의 수준을 확인합니다. 마지막으로, 작품을 발견 , 고대 그리스 수학자 기원전 4 세기에서 데이트. 그들은의 부정적분 본질은 곡선 모양의 볼륨 또는 영역 (3 차원과 2 차원 평면에 각각)을 찾는 것이었다 사용 된 방법을 설명한다. 계산 무한 요소로 원래의 분할도의 원리에 기초하여, 볼륨 (영역)에 이미 공지되어 한한다. 시간이 지남에 따라 성장 방법은, 아르키메데스는 포물선의 영역을 찾기 위해 그것을 사용. 같은 시간에 비슷한 계산은 그리스 동료 과학에서 완전히 독립했다 고대 중국에서 연습을 실시합니다.

개발

자이 세기 BC의 다음 혁신은 아랍 학자의 일이되었다 "마차"의 경계를 밀어 아부 알리 알 - Basri, 이미 알려진, 우리에게 알려진이 신청, 네 번째로 첫 번째의 금액과도의 합을 계산하는 적분 공식에서 파생 된 유도 방법.
오늘의 마음은 고대 이집트인은 자신의 손의를 제외하고는 특별한 도구없이 놀라운 기념물을 만들어 존경하는,하지만 적은 시간 기적의 전력 미친 과학자하지 않다? 그들의 삶의 현재 시간과 비교하여 거의 원시적 보이지만, 부정 적분의 결정은 모든 곳에서 도출 및 발전을 위해 연습에 사용됩니다.

이탈리아의 수학자 카발리 에리 픽업 불가분의 방법 가져온 경우 다음 단계는 16 세가 세기에 일어났다 당 Ferma합니다. 이 두 가지 성격이 순간에 알려진 현대 적분을위한 토대를 마련. 그들은 이전에 독립적 인 단위로 볼 수 있었다 분화와 통합의 개념을 성공 시켰습니다. 전반적으로, 그 때의 수학 연구 결과는 제한된 사용과 함께, 그 자체로 존재하는 조각 입자이었다. 단결과 공통점을 찾을 수있는 방법은 그 덕분에, 현대, 순간에 유일하신 참이었다 수학적 분석이 성장하고 발전 할 수있는 기회를 가졌다.

시간의 흐름과 함께 모든 적분 기호뿐만 아니라 변경됩니다. 전반적으로, 그것은 그 자신의 방법으로, 예를 들어, 뉴턴은 적분 기능을 넣어, 또는 단순히 조립 사각형 아이콘을 사용 과학자를 지정되었다. 이 차이는 수학적 분석 과학자 곳 프리드 Leybnits의 전체 이론의 랜드 마크는 우리에게 익숙한 이러한 문자를 도입 XVII 세기까지 지속되었다. 길쭉한 "S"는 사실이 편지를 기반으로 , 로마 알파벳 프리미티브의 합을 의미하기 때문이다. 적분의 이름 15 년 후, 제이콥 버눌리 덕분에 얻을.

공식적인 정의

부정적분은 원시의 정의에 따라, 그래서 우리는 먼저 그것을 고려한다.

역도 -이 프리미티브라고 실제로 유도체의 역함수이다. 그렇지 않으면 : (D)의 기본 기능은 - 미분 브이 <=>의 V '= V 인 함수 D이다. 기본 검색은 부정적분을 계산하는 것입니다, 그 과정 자체가 통합이라고합니다.

예 :

함수들 (Y) Y = ^3, 원시적 S (Y) = (Y ^4/4).

함수의 모든 프리미티브들의 집합 - 다음이 부정 일체 그것을 표기 : ∫v (X) DX.

V (x)는 사실 덕분에 - 일부 원시 원래의 함수이고,이 식 보유 : ∫v (x)는 DX = V (X) + C, C - 상수. 그 유도체는 제로이기 때문에, 임의의 상수에 따라, 임의의 정수를 의미한다.

속성

부정적분가 갖는 특성은 기본적으로 정의 및 그 유도체의 특성에 기초하여.
핵심 사항을 고려 :

• 프리미티브의 적분 유도체 자체 플러스 임의의 상수 C <=> ∫V 원시적 '(x)는 DX = V (X) + C;
• 함수의 적분 유도체 <=> (∫v (X) DX) '원본 함수 = V (X);
• 상수를 적분 기호 <=> ∫kv (x)를 아래로부터 취출 DX = k∫v (x)가 k는 DX, - 임의적이다;
• 적분 값의 합 <=> ∫ (V (Y) + w (Y)) DY = ∫v (Y) DY + ∫w (Y) DY로 동일 동등의 합에서 촬영 된 일체형.

마지막 두 속성은 부정적분 선형이라고 결론을 내릴 수있다. 이에 의해, 우리가 : ∫ (KV (Y) DY + ∫ LW (Y)) DY = k∫v (Y) DY + l∫w (Y)를 DY.

해결책 부정 적분 고정의 예를 참조한다.

당신은 적분 ∫ (3sinx + 4cosx) DX를 찾아야합니다 :

• ∫ (3sinx 4cosx +) = DX ∫3sinxdx ∫4cosxdx + = + 3∫sinxdx 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

이 예에서 우리는 당신이 부정 적분을 해결하는 방법을 모르는 결론을 내릴 수 있는가? 그냥 모든 프리미티브를 찾아라! 그러나 원칙에 대한 검색은 아래에서 설명.

방법 및 예

적분을 해결하기 위해 다음과 같은 방법에 의지 할 수 있습니다 :

• 테이블의 장점을 취할 준비가;
• 부분적 분;
• 변수로 대체함으로써 집적;
• 차동의 기호 아래에 합산.

테이블

가장 간단하고 즐거운 방법. 지금이 순간, 수학적 분석은 부정 적분의 기본 공식을 밖으로 철자 매우 폭 넓은 테이블을, 자랑 할 수 있습니다. 즉, 최대 파생 된 템플릿이 있습니다 그리고 당신은 단지 그들을 활용할 수 있습니다. 여기에 거의 모든 인스턴스를 표시 할 수있는 기본 테이블 위치, 목록, 인 솔루션을 제공합니다 :

• ∫0dy = C 여기서 C - 상수;
• ∫dy = Y + C, 여기서 C - 상수;
• ∫y ^않음 DY = (y를 ^{N + 1)} / (N + 1) + C, 여기서 C - 상수, 및 N - 화합 다른 번호;
• ∫ (1 / Y) DY = LN | Y | + C, 여기서 C - 상수;
• ^{∫e y를 DY = 전자 Y + C} , 여기서 C - 상수;
• ^{∫k y를 DY = (k 값 Y /} LN K) + C, C - 상수;
• ∫cosydy siny + = C 여기서 C - 상수;
• ∫sinydy -cosy + = C 여기서 C - 상수;
• ∫dy / COS ^2, Y = C + tgy 여기서 C - 상수;
• ∫dy / 죄 ^2, Y = C + -ctgy 여기서 C - 상수;
• ∫dy / (1 + ^{2, Y)} = arctgy + C, 여기서 C - 상수;
• ∫chydy = 부끄러워의 C +, C - 상수;
• ∫shydy = CHY + C, C - 상수.

필요한 경우 표보기에 몇 가지 단계가 적분을 주도하고 승리를 즐길 수 있습니다. 예 : ∫cos (배 -2) DX = 1 / 5∫cos (배 - 2) D (5 배 - 2) = 1/5 X 죄 (배 - 2) + C.

결정에 따라, 예를 들어 테이블 적분 우리는 변경하지 않은 일반적인 표현 1/5하여 곱셈와 병렬로 추가 승수 5. 부족 것이 분명하다.

부분적 분

Z (Y) 및 X (Y) - 두 가지 기능을 고려한다. 그들은 그 도메인에 지속적으로 미분 가능해야합니다. 하나 개의 분화 특성에서는 가지고 : d (XZ) = + xdz ZDX한다. 양쪽을 통합, 우리가 얻을 : ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz합니다.

- ∫xdz ∫zdx = ZX : 생성 된 방정식을 다시 쓰기, 우리는 부분적 분 방법을 설명하는 식을 얻는다.

왜 필요한가? 후자는 표 형식에 가까운 경우는 간단하게 할 수있는 예 중 일부는,의 말을 할 수 있다는 사실은, ∫zdx ∫xdz을 줄일 수 있습니다. 또한,이 수식은 최적의 결과를 위해 한번 이상 사용될 수있다.

어떻게 부정 적분이 방법을 해결하기 위해 :

• ∫ (S + 1) 전자 ^2S의 DS를 계산하는데 필요한

∫ (X + ^{1) {의 Z = 용 = 전자 2S ds는} S + Y는 1 ^{/ 2E 2S, DY = E의 2 배} = 1, DZ = DS = ((S + DS} 1) 전자 ^2S)을 / 2-1 / 2 ∫e ^2S DX = ((S + 1) 전자 ^2S) / 2 ^E-2S / 4 + C;

• ∫lnsds를 계산해야

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / s로, Y가 S, DY = DS} = slns - ∫s의 X의 DS / 초에서 =의 slns - ∫ds의 =의 slns -s + C를가 S (LNS-1) + C.

변수를 교체

부정 적분을 해결하는이 원리는 복잡하지만, 이전의 두에 비해 수요이어야합니다. 다음 방법은 :하자 V (X) - 일부 함수 V (X)의 적분. 그 자체로 예 slozhnosochinenny에서 통합 제공되는 경우, 혼동과 잘못된 경로 솔루션을 아래로 갈 가능성이 높다. X에 따라 Z 유지하면서 일반 식 시각적 단순화하는 Z에 변수 x에서 연습이 변화를 방지한다.

다음과 같이 수학적 관점에서이다 : ∫v (X) = DX ∫v (Y (z)), Y '(z) = DZ V (z) = V (Y-1 (X)), X = Y ( z) - 교체. 그리고 물론, 역함수 Z = ^-1, Y (X)의 관계와 완전히 변수의 관계를 설명한다. 중요 사항 - 반드시 새로운 차동 DZ로 대체 차동 DX의 부정적분에서 변수의 변화 보낸 사람뿐만 아니라 적분에, 사방에 그것을 대체하는 것을 포함한다.

예 :

• DS - ∫ (S + 1) / (5 초 ² + 2 초)을 발견해야한다

치환 Z = (S + 1)를 적용 / (S ⁽²⁾ + 2S-5). 이어서 DZ 2sds = 2 + 2 = (S + 1) DS <=> (S + 1) DS = DZ / 2. 그 결과, 매우 쉽게 다음과 같은 식을 계산합니다 :

∫ (S + 1) / ⁽² + 2S S-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | ² + S 2S -5- | + C;

• 당신은 적분 ^{∫2의 전자의} DX를 찾아야합니다

다음과 같은 형태로 재 작성을 해결하려면

^{∫2 S S 전자의 DS = ∫ (} 2E)의 DS.

우리는, 우리는 줄 (여전히 s의이 단계가 아닌 인수의 교체) A = 2E로 나타내는 우리의 기본 표 양식에 필수 겉으로는 복잡한 :

^{∫ (2E) (S)의 DS =의 ∫a의} S 개의 DS가 = A (S) / LNA + C = (2E) (S) / LN (2E) + C = ^2의 예에서 ^S / LN (2 + LNE) + C = ^2의 예에서 ^S / (LN2 + 1) + C.

차동 기호를 합산

전반적으로,이 무기한 적분의 방법 - 변수의 변화의 원리의 쌍둥이 형제,하지만 등록 과정에서 차이가있다. 우리가 더 자세히 살펴 보겠습니다.

만약 ∫v (x)는 DX = V (X) + C 및 Y = Z (x)를, 다음 ∫v (Y) DY = V (Y) + C.

동시에 우리는 사소한 통합 변환, 중을 잊어서는 안된다 :

• DX = D (X + a) 및 상기 - 각 상수;
• DX = (1 / a) D (AX + B) 여기서, A - 상수 다시 0은 아님;
• xdx = 1 / 2D (× ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (SiNx 등).

우리는 부정적분을 계산 일반적인 경우를 고려하면, 예로 '(x)는 DX = DW (X) w 화학식하에 포섭 될 수있다.

예 :

• 찾아야 ∫ (2S +) ² DS, DS = 1 / 2D (2S + 3)

∫ (2S + 3) = 1 / 2∫ (2S +) ² D ² DS (2S + 3) = (1/2) × ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) X (2S + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

온라인 도움말

어떤 경우에는,의 잘못이 될 수 있습니다 또는 게으름, 또는 긴급한 필요, 당신은 계산기를 부정 적분을 사용하는 대신 온라인 프롬프트를 사용하거나 할 수 있습니다. 명백한 복잡성과 적분의 논쟁적인 성격에도 불구하고, 결정은 "당신이하지 ... 다음한다면 ..."의 원칙을 기반으로 특정 알고리즘이 적용됩니다.

결정은 인위적 과정에서 특정 요소를 도입하여 "강제"찾아야하는 경우가 있기 때문에 결과에 도달하는 확실한 방법이기 때문에 물론, 이러한 계산기의 특히 복잡한 예를 들면, 마스터하지 않습니다. 이 문장의 논쟁적인 성격에도 불구하고, 그것은 수학으로, 원칙적으로 추상적 인 과학, 그 주요 목적은 국경 권한을 부여 할 필요는 고려, 사실이다. 실제로, 대한 원활한 실행에 이론 이동과 진화, 그래서 우리에게 준 부정 적분을 해결하는 예, 가정하지 않는 것이 매우 어렵다 -이 기회의 높이입니다. 그러나 다시 사물의 기술적 측면. 계산을 확인 적어도, 당신은 우리에 기록 된있는 서비스를 사용할 수 있습니다. 복잡한 식의 자동 계산에 대한 필요가있는 경우, 그들은 더 심각한 소프트웨어에 의존 할 필요가 없습니다. 주로 환경 매트랩에주의를 기울여야한다.

신청

이 비행기의 명백한 사용을 참조하기 어렵 기 때문에 첫눈에 부정 적분의 결정은, 현실에서 완전히 분리 된 것 같다. 사실, 바로 당신이 할 수없는 어디서나 사용할 수 있지만 실제로 사용되는 솔루션의 철수 과정에서 필요한 중간 요소입니다. 따라서, 다시 분화 통합 따라서 적극적 방정식을 해결하는 과정에 참여.
요컨대, 현재, 미래를 형성를 구성하는 모든 - 차례로, 이러한 방정식은 기계적 문제 궤도 계산 및 열전도율의 결정에 직접적인 영향을 미친다. 우리는 도심, 상기 제 눈에 단지 사소한 고려한있는, 통합 무기한 예는 더 많은 새로운 발견을 수행합니다.