확률 이론의 기본 개념. 확률 이론의 법칙

많은 사람들이 "확률 이론"의 개념에 직면했을 때, 뭔가 참을 수없는 매우 어렵다고 생각 두려워. 그러나 실제로는 그렇게 비극적 아니다. 오늘 우리는 구체적인 예에 의해 문제를 해결하기 위해 학습, 확률 이론의 기본 개념을 확인합니다.

과학

무엇은 "확률 이론"으로 수학의 한 분야를 연구하고있다? 이 패턴 노트 무작위 이벤트 와 변수를. 도박을 공부 처음으로 18 세기에 우려 과학자의 문제하십시오. 확률 이론의 기본 개념 - 이벤트입니다. 그것은 경험이나 관찰에 의해 언급 된 모든 사실이다. 그러나 경험은 무엇인가? 확률 이론의 또 다른 기본 개념. 그것은 상황의이 부분은 실수로 생성되지 않음을 의미 및 목적. 감시 관련하여, 경험에 참여하지 않은 연구원이, 단순히 이러한 이벤트에 증인, 그것은 무슨 일이 일어나고 있는지에 영향을주지 않습니다.

이벤트

행사하지만, 분류를 고려하지 않았다 - 우리는 확률 이론의 기본 개념 것을 배웠다. 그들 모두는 다음과 같은 범주로 나누어집니다 :

• 신뢰할 수있는.
• 불가능.
• 랜덤.

아무리 이벤트가 지켜 또는 실험의 과정에서 작성되는, 무엇을, 그들은이 분류에 의해 영향을받지 않습니다. 우리는 별도로 대회의 모든 유형을 제공합니다.

특정 이벤트

이 활동에 필요한 설정을 할 수있는 사실이다. 더 본질을 파악하기 위해서는 몇 가지 예를 제공하는 것이 좋습니다. 이 법 물리, 화학, 경제, 높은 수학에 종속이다. 확률 이론은 중요한 이벤트와 같은 중요한 개념을 포함한다. 몇 가지 예를 들면 다음과 같다 :

• 우리는 일을하고 임금의 형태로 보수를받을 수 있습니다.
• 음, 시험을 통과은 교육 기관에 입학의 형태로 보수를받을 수 있도록 경쟁을 통과시켰다.
• 우리는 필요한 경우를 다시 얻을, 은행에 돈을 투자했다.

이러한 이벤트는 사실이다. 우리가 필요한 모든 조건을 충족하는 경우, 예상되는 결과를 얻을해야합니다.

불가능 이벤트

이제 우리는 확률 이론의 요소를 고려한다. 즉 불가능 - 우리는 사건의 다음과 같은 유형의 해명에 가고 있습니다. 시작은 가장 중요한 규칙을 규정 - 불가능한 사건의 확률은 제로이다.

이 공식에서 문제를 해결 derogated 할 수 없습니다. 이러한 이벤트의 예를 설명하기 위해 :

• 물은 온도 플러스 열 (그것은 불가능)에서 동결된다.
• 전기의 부족은 생산에 영향 (앞의 예처럼 불가능)이 없습니다.

이 카테고리의 본질을 반영 매우 명확하게 설명한 바와 같이 주어진다 추가 예는 필요하지 않다. 불가능한 사건은 결코 어떤 상황에서도 실험 기간 동안 발생하지 않습니다.

랜덤 이벤트

확률 이론의 요소를 연구함으로써, 특별한주의는 이벤트의 지정된 형태에 지불해야한다. 다음은이 과학을 공부하는 사람입니다. 일 또는 수없는 무언가의 경험의 결과로. 또한, 시험은 무제한이 수행 될 수있다. 주목할만한 예는 다음과 같습니다

• 동전을 던져 -이 이벤트 - 그것은 경험, 또는 테스트, 독수리의 손실이다.
• 맹목적으로 가방에서 볼을 잡아 당기면 - 등등이 이벤트와 - 테스트, 그는 빨간 공을 잡혔다.

이러한 실시 예는 일반적으로 이해되어야하며, 제한없이 할 수 있지만. 요약하고 테이블의 이벤트에 대한 획득 한 지식을 체계화합니다. 확률 이론 연구의 모든 선물의 후자의 종류.

법

확률 이론 - 모든 이벤트의 손실의 가능성을 연구하는 과학. 다른 사람들과 마찬가지로, 그것은 몇 가지 규칙이있다. 확률 이론의 다음과 같은 법칙 :

• 확률 변수의 시퀀스의 컨버전스.
• 많은 수의 법칙.

복잡한의 가능성을 계산할 때 방법 결과를 쉽고 빠르게 달성하기 위해 복잡한 간단한 이벤트를 사용할 수 있습니다. 확률 이론의 법칙 쉽게 정리 중 일부의 도움으로 증명 될 수 있음에 유의해야한다. 우리는 첫 번째 법칙에 익숙해 시작하는 것이 좋습니다.

확률 변수의 시퀀스의 컨버전스

여러 종류의 융합 있습니다 :

• 확률 변수의 순서는 확률 수렴.
• 거의 불가능합니다.
• RMS 융합.
• 유통 수렴.

그래서, 즉시, 본질을 파악하는 것은 매우 어려운 일이다. 여기에 주제를 이해하는 데 도움이 될 것입니다 정의입니다. 처음보기 시작합니다. N 무한대에 가까워 시퀀스에 의해 자행 수가 0보다 크고 단위 부근 다음 조건하면 시퀀스가 수렴 확률이라고한다.

거의 확실하게, 다음보기로 이동합니다. 그들은 그 순서가 일치에 가까운 값으로 경향과, n이 무한대로 경향과 확률 변수에 거의 확실 R을 수렴 말한다.

다음 유형 - RMS의 융합. 벡터 랜덤 프로세스의 SC-학습 융합을 사용하는 경우 좌표 무작위적인 과정의 연구에 줄일 수 있습니다.

마지막 유형의 간단히보고 문제의 해결에 직접 갈 수 있도록했다. 유통의 컨버전스는 다른 이름을 가지고 - "약한", 왜 설명한다. 약한 수렴 - 한계 분포 함수의 연속성의 모든 점에서의 분포 함수의 융합이다.

약속을 유지해야합니다 : 확률 변수가 확률 공간에 정의되어 있지 않은 것을 약한 수렴 위의 모든 다르다. 조건 독점적 분포 함수를 이용하여 형성되어 있기 때문에 가능하다.

많은 수의 법칙

법의 증거에 큰 도우미는 다음과 같은 확률 이론의 정리 될 것입니다 :

• 체비 쇼프 불평등.
• 체비 세프의 정리.
• 일반화 된 체비 세프 정리.
• 마르코프 정리.

우리는 모든 정리를 고려하는 경우, 다음 문제는 시트의 수십 걸릴 수 있습니다. 실제로는 확률 이론의 응용 프로그램입니다 - 우리는 주요 작업이 있습니다. 우리는 지금 당신을 제공하고이 작업을 수행. 우리는 확률 이론의 공리를 고려하기 전에, 그들은 문제를 해결하는 핵심 파트너이다.

공리

불가능한 이벤트에 대해 이야기 할 때 처음부터, 우리는 이미 보았다. 의 기억합시다 : 불가능한 사건의 확률은 제로이다. 예 우리는 매우 선명하고 기억에 남는했다 : 눈이 공기 온도 서른 개 섭씨로 떨어졌다.

다음으로 두 번째는 : 특정 이벤트가 일치 확률로 발생한다. P (B) = 1 : 이제 우리는이 수학적 언어의 도움으로 작성하는 방법을 보여줍니다.

셋째, 임의의 이벤트가 발생 여부,하지만 가능성이 항상 0에서 하나 다를 수 있습니다. 가까이는 단결, 더 많은 기회이다; 값이 0에 가까운 경우, 확률은 매우 낮다. 우리는 수학적 언어로이 쓰기 : 0

마지막으로, 네 번째 공리를 고려, 즉 두 사건의 확률의 합은 확률의 합과 같다. 수학적 용어를 쓰기 : P (A + B) = P (A) + P (B)를.

확률 이론의 공리는 - 그것은 기억하기 어렵지 않을 것이다 간단한 규칙입니다. 의 이미 획득 한 지식을 바탕으로 몇 가지 문제를 해결 해보자.

복권

추첨 - 먼저, 간단한 예를 고려해보십시오. 당신이 행운을 위해 복권을 구입 한 것을 상상해보십시오. 당신이 최소 20 루블을 이길 확률은 얼마인가? 오 - 총 순환은 오백 루블, 천 루블, 20 및 50 루블, 그리고 수백의 상금을 가지고 하나의 천 티켓에 참여하고있다. 확률의 이론의 작업은 행운 할 수있는 방법을 찾는 방법에 따라. 이제 우리가 함께 작업보기 위의 결정을 분석 할 수 있습니다.

우리가 오백 루블의 상금 넣어야하는 경우, 다음의 확률은 0.001 같다. 우리는 어떻게받을 수 있나요? 그냥은 (1/1000이 경우) 총 개수로 나눈 "운"티켓의 수를 필요로한다.

- 다른 백 루블 이득 확률은 0.01와 동일 할 것이다. 이제 우리는 마지막 동작과 같은 방식으로 행동 한 (10/1000)

C - 보수는 스물 루블입니다. 확률을 찾기는 0.05와 같다.

그 상금으로 우리가 관심이없는 티켓의 나머지는, 조건에 지정된보다 작습니다. 네번째 공리 적용 : 최소 20 루블 당첨 확률 P (A) + P (B)는 P + (C). 문자 P는 이벤트의 기원의 확률이고, 이전 단계에서 우리는 이미 그들을 발견했다. 그것은 우리가 0.061을 얻을 응답을 필요한 데이터를 누워에만 남아있다. 이 숫자는 작업의 질문에 대한 해답이 될 것입니다.

카드의 갑판

확률 이론에 대한 문제는, 예를 들어, 다음 작업을, 또한 더 복잡한있다. 서른여섯 카드를 당신의 갑판 전에. 당신의 작업은 - 더미를 혼합하지 않고, 연속으로 두 개의 카드를 그릴, 제 1 및 제 2 카드는 에이스해야합니다, 정장은 중요하지 않습니다.

첫 번째 카드가 에이스 인 확률 사 및 서른여섯하여이 분열을 찾아 시작합니다. 옆에 놓습니다. 우리는 두 번째 카드가 삼백서른다섯번째의 확률로 에이스입니다 얻을. 두 번째 이벤트의 확률은 에이스였다 여부, 우리가 관심이있는 카드에 우리가 첫 번째를 뽑아 달라집니다. 이로부터이 이벤트에서 이벤트 A.에 따라 달라 다음과

우리의 동시 실행의 가능성을 찾아 다음 단계, 즉, 다음과 같이 그들의 작품은 A와 B를 곱 다른 조건부 확률 승산 한 이벤트의 확률 우리 즉, 첫 번째 이벤트가 발생 하였다고 가정하여 계산 한 제 1 카드 저희는 에이스 당겼다.

모든 분명하다되기 위해, 같은 지정 등의 요소 줄 의 조건부 확률 이벤트를. 그것은 A가 일어난 경우를 가정하여 계산된다. 그것은 다음과 같이 계산된다 : P (B / A).

P (A _*의 B) = P (A) _* P (B / A) 또는 P (A _*의 B) = P (B) _* P (A / B) : 우리는 우리의 문제에 대한 해결책을 연장한다. .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0 : 확률 (36분의 4) _* ((35분의 3) / (36분의 4)에 가까운 백의 반올림하여 산출한다 우리가있다 82 = 0.09. 확률 우리는 연속 두 에이스 끌어 백분의 구 동일하다.이 값이 매우 작고, 그 이벤트 발생의 확률이 매우 낮은 것을 따른다.

잊어 룸

우리는 확률의 이론을 연구 작업의 일부 더 많은 옵션을 만들어 제공합니다. 이 문서에서 보았던 것들의 일부 솔루션의 예로는 다음과 같은 문제를 해결하기 위해 시도 : 소년은 그의 친구의 마지막 자리의 전화 번호를 잊었지만 통화가 매우 중요하기 때문에, 다음 차례로 각을 선택하기 시작했다. 우리는 그가 세 번 것보다 더 이상 전화하지 않을 것이다 확률을 계산해야합니다. 문제의 간단한 해결책, 당신은 확률 이론의 규칙, 법률과 공리를 알고있는 경우.

당신이 솔루션을 참조하기 전에 스스로 해결하려고합니다. 우리는 후자의 그림 10 개 값의 총, 0에서 구를 수 있다는 것을 알고있다. 필요한 확률 점수는 1/10입니다.

다음으로는, 이벤트의 기원에 대한 옵션을 고려 우리가 아이를 잘 짐작하고 오른쪽을 수상한다고 가정 할 필요가 이러한 이벤트의 확률은 1/10 같다. 두 번째 옵션 : 첫 번째 호출 슬립, 두 번째 대상입니다. 9/10 우리가 1/10로 얻을 말에 1/9을 곱한 : 우리는 사건의 확률을 계산합니다. 세 번째 옵션 : 자기가 원하는 경우 제 1 및 제 2 호출이 잘못된 주소로 판명 만 세 번째 소년이었다. 이러한 이벤트의 확률 계산 : 9/10 8/9 1/8을 곱한 우리는 1/10의 결과로서 얻었다. 우리가 이러한 결과를 누워 위해 우리가 관심이없는 문제의 조건에 다른 옵션, 이는 결국 우리는 3/10이 남아있다. 답변 : 소년은 세 번 호출 할 확률은 0.3과 같다.

숫자 카드

당신이 전에 하나에서 아홉에 번호를 기록, 각각의 구 카드는, 숫자는 반복되지 않습니다. 그들은 상자에 넣고 잘 섞는다. 당신은 확률을 계산해야 그

• 짝수 압연;
• 두자리.

그 m을 규정 결정에 진행하기 전에 - 성공 사례의 수이고, N - 옵션의 총 수입니다. 우리가 숫자가 짝수 가능성을 찾아 보자. 네 심지어 숫자를 계산하기 어려운 일이 아니다, 그것은 우리의 m, 아홉 개 가능한 옵션, 즉, m = 9입니다. 그런 확률은 4/9 또는 0.44와 동일하다.

우리는 두 번째 경우, 아홉의 변종의 수를 고려하고, 성공적인 결과가 전혀 될 수 없다, 즉, m은 0이다. 가늘고 긴 카드는 0으로, 두 자리 수를 포함 할 확률.