대각선 등변 사다리꼴. 사다리꼴의 중간 선은 무엇입니까. 사다리꼴의 종류. 트라 페즈 - 그 ..

사다리꼴은 한 쌍의 변이 평행 한 사변형의 특별한 경우입니다. "사다리꼴"이라는 용어는 "표", "표"를 의미하는 그리스 단어 τράπεζα에서 유래합니다. 이 기사에서는 사다리꼴 유형과 그 특성을 살펴 보겠습니다. 또한이 기하학적 그림 의 개별 요소를 계산하는 방법을 이해할 것 입니다. 예를 들어, 등변 사다리꼴, 중간 선, 영역 등의 대각선입니다. 재료는 기본 대중 지오메트리의 스타일, 즉 쉽게 접근 할 수있는 형태로 설명됩니다.

일반 정보

먼저, 사변형이 무엇인지 봅시다. 이 그림은 4면과 4면을 포함하는 다각형의 특별한 경우입니다. 인접하지 않은 사변형의 두 정점을 반대 정점이라고합니다. 두 개의 인접하지 않은 측면에 대해서도 마찬가지입니다. quadrilaterals의 주요 유형은 평행 사변형, 직사각형, 마름모, 사각형, 사다리꼴 및 deloid입니다.

그래서 사다리꼴로 돌아가십시오. 우리가 이미 말했듯이,이 그림은 평행 한 두면을 가지고 있습니다. 그것들은 기지라고 불린다. 나머지 두 개 (평행하지 않은)는 변입니다. 시험 및 다양한 시험 자료에서 종종 사다리꼴과 관련된 작업을 수행하는 것이 가능하며, 그 해결책으로 프로그램에서 제공하지 않는 지식을 학생에게 요구하는 경우가 종종 있습니다. 기하학의 학교 과정은 학생들에게 각도와 대각선의 속성뿐만 아니라 이등변 사다리꼴의 가운데 선을 소개합니다. 그러나 결국이 외에도 언급 된 기하학적 그림에는 다른 특징이 있습니다. 하지만 나중에 그들에 관해서 ...

사다리꼴 유형

이 그림에는 많은 종류가 있습니다. 그러나 그 중 두 개는 일반적으로 이등변과 직사각형으로 간주됩니다.

직사각형의 사다리꼴은 측면들 중 하나가베이스에 수직 인 그림이다. 그것은 두 개의 각도가 항상 90도에 해당합니다.

2. 이등변 삼각형은 변이 같은 기하학적 인 모습입니다. 이것은 염기의 각도가 쌍으로 동일하다는 것을 의미합니다.

사다리꼴 특성을 연구하는 기술의 주요 원리

주요 원칙은 소위 문제 접근 방식을 사용하는 것입니다. 사실,이 그림의 새로운 속성을 이론적 인 기하 코스에 도입 할 필요는 없습니다. 다양한 문제를 해결하는 과정에서 열리고 공식화 될 수 있습니다 (더 나은 시스템). 동시에, 교사는 교육 과정 중 하나 또는 다른 순간에 학생들에게 어떤 작업을 설정해야 하는지를 아는 것이 매우 중요합니다. 또한 각 사다리꼴 속성은 작업 시스템에서 중요한 작업으로 나타낼 수 있습니다.

두 번째 원칙은 "현저한"사다리꼴 특성을 연구하는 소위 나선형 조직입니다. 이는 학습 과정에서 주어진 기하학적 그림의 개별적인 특성으로 복귀한다는 것을 의미합니다. 따라서 학생들은 기억하기 쉽습니다. 예를 들어, 4 점의 속성. 유사성에 대한 연구와 후에 벡터의 도움으로 입증 될 수 있습니다. 그리고 그림의 측면에 인접한 삼각형의 평등은 한 줄에있는면에 같은 높이로 그려진 삼각형의 특성뿐만 아니라 S = 1/2 (ab * sinα) 공식을 사용하여 증명할 수 있습니다. 또한 설명 된 사다리꼴에 내 접형 사다리꼴이나 직각 삼각형에 사인 정리 를 적용 할 수 있습니다.

학교 과정의 내용에 기하학적 그림의 "비 - 프로그래밍 방식"기능을 적용하는 것은 교습을위한 신중한 기술입니다. 다른 주제를 다룰 때 연구 된 속성에 대한 지속적인 호소력으로 학생들은 사다리꼴을 더 잘 이해할 수 있고 작업 해결 방법의 성공을 보장 할 수 있습니다. 그래서이 놀라운 인물을 연구 해 봅시다.

이등변 사다리꼴의 요소와 특성

우리가 이미 지적했듯이,이 기하학적 그림에서 측면은 동일합니다. 그녀는 오른쪽 사다리꼴이라고도합니다. 그리고 왜 그렇게 놀랍습니까? 왜 그런 이름을 얻었습니까? 이 그림의 특이성은 기지의 측면과 모서리가 동일 할뿐만 아니라 대각선이기도하다는 것입니다. 또한 이등변 사다리꼴 각도의 합은 360도입니다. 하지만 그건 전부가 아닙니다! 알려진 모든 사다리꼴 중, 이등변 삼각형 주위에서만 원을 묘사 할 수 있습니다. 이것은이 그림에서 대각선의 합이 180도이므로이 조건에서만 사변형 주변의 원을 설명 할 수 있기 때문입니다. 문제의 기하학적 그림의 다음 특성은 밑면의 꼭대기에서이 정점을 포함하는 선에 대한 반대 정점의 투영까지의 거리가 정중선과 같아야한다는 것입니다.

이제 이등변 사다리꼴 각도를 찾는 법을 알아 봅시다. 그림의 측면 크기가 알려졌다면이 문제의 해결책을 고려해 보겠습니다.

솔루션

일반적으로 사변형은 일반적으로 문자 A, B, C, D로 표시되며, BS와 AD는 기본입니다. 이등변 사다리꼴에서 측면은 평등합니다. 우리는 그들의 크기가 X와 같다고 가정하고, 밑의 크기는 Y와 Z (각각 작고 크다)와 같다. 계산을 수행하려면 각도 B에서 높이 H를 그릴 필요가 있습니다. 결과적으로 우리는 직각 삼각형 ABN을가집니다. 여기서 AB는 빗변이고 BN과 AN은 다리입니다. AN의 크기를 계산합니다. 더 큰 기준에서 더 작은 기준점을 뺀 다음 결과를 2로 나눕니다. 공식의 형태로 작성합니다. (ZY) / 2 = F. 이제 삼각형의 예각을 계산하려면 cos을 사용하십시오. 우리는 다음 표기법을 얻는다 : cos (β) = X / F. 이제 각도를 계산하십시오 : β = arcos (X / F). 또한 하나의 모서리를 알고, 두 번째를 정의 할 수 있습니다.이를 위해 180-β의 기본 산술 연산을 만듭니다. 모든 각도가 정의됩니다.

이 문제에 대한 두 번째 해결 방법도 있습니다. 처음에는 각도 B에서 높이 H를 낮 춥니 다. 우리는 BN 계수의 값을 계산합니다. 직각 삼각형의 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다. 우리는 다음을 얻는다 : BN = √ (X2-F2). 다음으로 삼각 함수 tg를 사용합니다. 결과적으로 우리는 β = arctg (BN / F)를 갖는다. 급경사가 발견되었습니다. 다음으로, 첫 번째 방법과 마찬가지로 둔각을 정의합니다.

이등변 사다리꼴의 대각선의 특성

첫째, 네 가지 규칙을 적어 둡니다. 이등변 사다리꼴의 대각선이 직각이면 다음과 같습니다.

- 숫자의 높이는 2를 나눈 값의 합과 같습니다.

- 높이와 중간 선이 동일합니다.

- 사다리꼴 의 면적은 높이의 제곱과 같습니다 (중간 선, 기본의 절반).

- 대각선의 정사각형은베이스의 합의 제곱의 절반 또는 정중선의 두 배가 된 정사각형 (높이)과 같습니다.

이제 우리는 등변 사다리꼴의 대각선을 결정하는 공식을 고려합니다. 이 정보 블록은 네 부분으로 나눌 수 있습니다.

1. 그 변의 대각선 길이에 대한 공식.

A는 밑변, B는 위, C는 등변, D는 대각선이라고 가정합니다. 이 경우 길이는 다음과 같이 결정될 수 있습니다.

D = √ (C2 + A * B).

2. 코사인 정리에 의한 대각선 길이의 공식.

A가 밑변, B가 위, B가 위, D가 대각선, α (밑변) 및 β (위 밑)가 사다리꼴 각이라고 가정합니다. 우리는 대각선 길이를 계산할 수있는 다음 공식을 얻습니다.

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosα);

- Д = √ (А2 + С2-2А * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosβ);

- Д = √ (В2 + С2-2В * С * cosα).

3. 이등변 사다리꼴의 대각선 길이에 대한 공식.

A는 밑변, B는 위, D는 대각선, M은 중간 선, H는 높이, P는 사다리꼴 영역, α와 β는 대각선 사이의 각도라고 가정합니다. 다음 수식의 길이를 결정하십시오.

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

이 경우, 동일성 sinα = sinβ가 유효합니다.

4. 측면과 높이를 통한 대각선 길이 공식.

A는 밑변, B는 꼭짓점, C는 변, D는 대각선, H는 높이, α는 밑변과의 각도입니다.

다음 수식의 길이를 결정하십시오.

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- Д = √ (Н2 + (В + Р * ctgα) 2);

- Д = √ (А2 + С2-2А * √ (С2 - Н2)).

직사각형 사다리꼴의 요소와 특성

이 기하학적 인 모습에 대해 흥미로운 점을 살펴 보겠습니다. 우리가 이미 말했듯이, 사다리꼴은 두 개의 직각을 가지고 있습니다.

고전적인 정의 외에도 다른 것들이 있습니다. 예를 들어 사다리꼴은 한면이 밑면에 수직 인 사다리꼴입니다. 또는 측면에서 직각을 가진 인물. 이 사다리꼴 형태의 높이는 밑면에 수직 인 측면과 같습니다. 중간 선은 양면의 중간을 연결하는 선분입니다. 언급 된 요소의 속성은 그것이베이스에 평행하고 그 합계의 절반과 동일하다는 것입니다.

이제이 기하학적 그림을 정의하는 기본 수식을 살펴 보겠습니다. 이를 위해 우리는 A와 B가 기지라고 가정합니다. 직사각형 사다리꼴의 C (기초에 수직)와 D - 측면, M - 중간 선, α - 예각, P - 영역.

베이스에 수직 인 측면은 그림의 높이 (C = H)와 같으며 더 큰베이스 (C = D * sinα)에 대한 각도 α의 사인과 두 번째 측면 D의 길이의 곱과 같습니다. 또한, 이는 예각 α의 접선과베이스의 차이의 곱과 동일합니다. C = (A-B) * tgα.

2. 측면 D (기지에 수직이 아닌)는 특정 차이 A와 B 및 그림 H의 예각 또는 사각과 예각의 코사인 (α) : D = (A-B) / cos α = C / sinα와 같습니다.

3. 밑면에 수직 인면은 D의 제곱과 두 번째면의 차이와 밑면의 차이의 제곱 사이의 차이의 제곱근과 같습니다.

C = √ (A2- (A-B) 2).

4. 직사각형 사다리꼴의 변 D는 변 C의 제곱과 기하학적 도형의 밑변 차이의 제곱의 합의 제곱근과 같습니다. D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. 측면 C는 이중 영역을 기본의 합으로 나눈 몫과 같습니다. C = П / М = 2 П / (А + Б).

6. 면적은 밑면에 수직 인 높이 또는 측면에 대한 곱 M (사다리꼴의 가운데 선)에 의해 결정됩니다. П = М * Н = М * С.

7. C면은 그림의 두 배 영역을 예각의 사인과 밑변의 합으로 나눈 몫과 같습니다. C = π / М * sinα = 2π / ((+ +)) * sinα.

8. 대각선과 그 사이의 각도를 통해 사다리꼴 사다리꼴의 측면 측면의 공식 :

- sinα = sinβ;

- C = (A1 * A2 / (A + B)) * sinα = (A1 * A2 / (A + B)) * sinβ

여기서 D1과 D2는 사다리꼴의 대각선이다. Α와 β는 그들 사이의 각도입니다.

9. 밑변과 다른 변의 각도를 통한 측면 측면의 공식 : D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

직각을 갖는 사다리꼴은 사다리꼴의 특별한 경우이므로,이 수치를 정의하는 나머지 수식은 직사각형과 일치합니다.

서클 순환 특성

조건에 원이 사다리꼴로 새겨 져 있다고 표시되면 다음 속성을 사용할 수 있습니다.

- 밑변의 합은 측면의 합과 같습니다.

- 직사각형 그림의 꼭대기에서 내접원의 접선 점까지의 거리가 항상 동일합니다.

- 사다리꼴의 높이는 기저부에 수직 인 측면과 같 으며 원 의 지름 과 같습니다.

원의 중심은 각 의 이등분선이 교차하는 점입니다.

- 측면이 접선의 점으로 나누어 져 H 및 M 세그먼트로 나뉘면 원 의 반지름 은이 세그먼트의 곱의 제곱근과 같습니다.

- 접선의 점에 의해 형성된 사변형, 사다리꼴의 정점 및 내접원의 중심은 그 변이 반경과 같은 정사각형이다;

- 그림의 면적은 밑면과 높이의 곱의 곱과 밑면의 곱과 같습니다.

비슷한 사다리꼴

이 주제는이 기하학적 그림 의 특성을 연구 할 때 매우 편리합니다 . 예를 들어, 대각선은 사다리꼴을 네 개의 삼각형으로 쪼개어 놓습니다. 이 문장은 사다리꼴이 대각선으로 나뉘어 진 삼각형의 속성이라고 부를 수 있습니다. 이 주장의 첫 번째 부분은 두 가지 각도에서 유사성 기준을 통해 입증됩니다. 두 번째 부분을 증명하려면 아래 주어진 방법을 사용하는 것이 좋습니다.

정리의 증명

우리는 ABSD 패턴 (AD와 BS - 사다리꼴베이스)이 VD와 AC의 대각선에 의해 파괴된다고 가정합니다. 그들의 교차점은 O입니다. 우리는 4 개의 삼각형을 얻습니다 : AOS - 바닥 바닥에, BOS - 상단 바닥에, ABO와 SOD 측면에. SOD와 BFD의 삼각형은 세그먼트 BD와 OD가 기본 인 경우 공통 높이를 갖습니다. 그들의 영역 (Π)의 차이가 이들 부분의 차이와 동일하다는 것을 알게됩니다. 따라서 LDPE = NSP / K입니다. 유사하게, 삼각형 BF와 AOB는 공통 높이를 갖는다. 우리는 CO 및 OA 세그먼트를 기반으로 삼습니다. 우리는 PBO / PAOB = CO / OA = K와 PAOB = PBO / K를 얻습니다. 이것으로부터 PSCM = PAOB가 나온다.

자료를 수정하기 위해 학생들은 대각선으로 사다리꼴을 나눈 결과 삼각형의 영역을 연결하여 다음 문제를 해결하는 것이 좋습니다. BF 영역과 ADN 영역의 삼각형이 동일하다는 것이 알려져 있기 때문에 사다리꼴 영역을 찾아야합니다. LDPE = PAOB이므로 PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC를 의미합니다. BFU와 ADN의 삼각형의 유사성으로부터 BD / DD = √ (PBO / PAOD)를 따른다. 결과적으로 BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). 우리는 LDP = √ (PBO * PAOD)를 얻는다. 그런 다음 PABSD = PBO + PAOAD + 2 * (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

유사성 속성

이 주제를 계속 개발하면 흥미로운 사다리꼴 특징을 증명할 수 있습니다. 따라서 유사성을 사용하여이 기하학적 인 그림의 대각선이베이스에 평행하게 교차하는 점을 통과하는 선분의 특성을 증명할 수 있습니다. 이를 위해 다음과 같은 문제를 해결합니다 : 점 O를 지나는 세그먼트 PK의 길이를 찾아야합니다. 삼각형 ADD와 BFD의 유사성으로부터 AO / OC = AD / BS가옵니다. 삼각형 AOP와 ASB의 유사성으로부터 그것은 AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD)를 따른다. 이것으로부터 PO = BC * AD / (BS + AD)를 얻는다. 비슷하게 삼각형 DKK와 DBS의 유사성으로부터 OK = BS * AD / (BS + AD)가 나온다. 이것으로부터 PO = OK 및 PK = 2 * BS * AD / (BS + AD)가 뒤 따른다. 기저부와 평행 한 대각선의 교차점을 통과하고 두 개의 측면을 연결하는 선분은 교차점으로 반으로 나뉩니다. 길이는 그림의 평균 고조파 기준입니다.

4 점의 속성이라고하는 사다리꼴 품질을 고려하십시오. 대각선 (O)의 교차점, 측면 (E)의 확장 교차점 및 기저부 중심 (T와 M)은 항상 한 행에 있습니다. 이것은 유사성 방법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. 획득 된 삼각형 BEC와 AED는 유사하며, 각각 중간자 ET와 EF는 E의 꼭지점에서의 각도를 균등하게 나눕니다. 결과적으로 점 E, T 및 M은 한 행에 놓입니다. 똑같은 방식으로 점 T, 0, M은 한 직선 상에 위치하며,이 모든 것은 삼각형 BOS와 AOD의 유사성에서 따릅니다. 따라서 우리는 E, T, O 및 M의 4 가지 모든 점이 하나의 직선 상에 놓일 것이라고 결론 내립니다.

비슷한 사다리꼴을 사용하여 학생들에게 세그먼트의 길이 (LF)를 찾도록 요청할 수 있습니다. 그러면 세그먼트가 두 개의 비슷한 것으로 분할됩니다. 이 구간은 기지와 평행해야합니다. 얻어진 ALFD와 LBSF의 사다리꼴은 유사하기 때문에 BS / LF = LF / AD이다. 그 다음에 LF = √ (BS * AD)가 나온다. 사다리꼴을 두 개의 비슷한 사다리꼴로 나누는 선분은 그림의 기저부의 평균 기하학적 길이와 같은 길이를 갖습니다.

다음과 같은 유사성 특성을 고려하십시오. 그것은 두 개의 동일한 크기의 조각으로 분할 사다리꼴 세그먼트에 기초한다. 승인이 그네 ABSD 세그먼트는 두 개의 유사한 EH으로 구분된다. B1 및 B2 - B의 상부로부터 그 세그먼트의 높이가 두 부분으로 분할된다 EN 낮췄다. 구하는 PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. 또한, 시스템을 구성하는 상기 제 식 (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 및 제 (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. 팔로우 그 B2 / B1 = (BS EH +) / (+ BP EH)과 BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). 우리는 찾아 그 차 염기의 평균 길이와 동일한 동일한 두에 사다리꼴 구획의 길이 : √ ((CN2 + AQ2) / 2).

유사성 결론

따라서, 우리는 것을 증명했다 :

1 측부에 사다리꼴의 중간 부분을 연결하는 부분은, BP 및 BS에 평행 BS는 산술 평균과 BP (사다리꼴의 기본 길이)이다.

2. 대각선 평행 AD와 BC의 교점을 O 통과하는 바는 조화 평균 BP 및 BS 번호와 동일 할 것이다 (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. 유사 사다리꼴 깨고 세그먼트 길이는 기하 평균 기지 BS 및 BP를 갖는다.

4 개의 동일한 크기로 형상을 분할 요소는 길이가 정사각 수 BP 및 BS를 의미한다.

학생의 세그먼트 사이의 연계의 재료 및 인식을 통합하는 것은 특정 사다리꼴 그들을 구축하는 것이 필요하다. 지면과 평행 - 도면의 대각선의 교점 - 그는 쉽게 평균선과 지점 통과 세그먼트를 표시 할 수있다. 그러나 여기서 세 번째와 네 번째가 될 것인가? 이 응답은 평균 값 사이의 알 수없는 관계의 발견에 학생을 이끌 것입니다.

사다리꼴의 대각선의 중간 점에 합류 세그먼트

그림의 다음 특성을 고려하십시오. 우리는 세그먼트 MN이 기지에 평행 받아 들일 대각선으로 반으로 나눕니다. 교차점은 W 및 S.이 세그먼트 반 차분 이유와 동일 할 것이다 불린다. 우리가 더 자세하게 살펴 보자. MSH - 삼각형 ABS의 평균 라인, 그것은 BS / 2와 같다. Minigap - 삼각형 DBA의 중간 라인, 그것은 AD / 2와 같다. 그럼 우리가 찾아 그 SHSCH = minigap-MSH 때문에 SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

중심

의 주어진 기하학적 그림의 요소를 정의하는 방법을 살펴 보자. 이렇게하려면, 당신은 반대 방향으로베이스를 확장해야합니다. 그것은 무엇을 의미 하는가? 당사자의, 예를 들어, 오른쪽 - 위 아래로베이스를 추가 할 필요가있다. A는 저급 좌상의 길이를 연장. 다음으로, 자신의 대각선을 연결합니다. 도면의 중심선이 선분의 교점은 사다리꼴의 중심이다.

새겨진 및 공중 그네를 설명

하자 목록에는 수치를 제공합니다 :

1. 라인은이 이등변 경우에만 원에 새겨 될 수있다.

동그랗게 2는 염기의 길이의 합은 각 변의 길이의 합계가 있음을 구비하는 사다리꼴 형상으로 설명 될 수있다.

내접원의 결과 :

1. 사다리꼴의 높이가 항상 설명한 두 반경 같다.

2. 기재 사다리꼴의 측면은 직각으로 원의 중심에서 보았을.

첫 번째 결과는 분명하다, 두 번째는, 즉 사실도 쉽지 않을, SOD의 각도가 직접 것을 설정하는 데 필요한 증명. 그러나이 속성의 지식은 문제를 해결하기 위해 직각 삼각형을 사용할 수 있습니다.

이제 우리는 원에 내 접하는 이등변 사다리꼴에 대한 결과를 지정합니다. 우리는 높이가 기하 평균도 구하는 기지 있음 : H = 2R = √ (BS * BP). 사다리꼴에 대한 문제 (두 높이의 원리를) 해결의 기본 방법을 완수, 학생은 다음과 같은 작업을 해결해야합니다. 그 BT 수락 - 이등변의 높이 ABSD는 수치. 당신은 AT와 AP의 뻗기를 찾을 필요가있다. 위는 할 것입니다 설명하는 공식을 적용하는 것은 어려운 일이 아니다.

지금 저희 지역은 사다리꼴 설명에서 원의 반경을 결정하는 방법을 설명하겠습니다. 기본 BP에 최고 B의 높이에서 생략. 원은 사다리꼴에 내접하기 때문에, BS + 2AB = BP 또는 AB = (BS + BP) / 2. 삼각형 ABN를 찾기 sinα에서 = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2 BN = 2R. 확보 PABSD는 = (BP + BS) ※ R, 그것은 다음이 R = PABSD / (AD + BC).

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모든 공식은 그네를 중간 선

지금은이 기하학적 그림의 마지막 항목으로 이동하는 시간이다. 우리는 사다리꼴 (M)의 중간 선이 무엇인지 이해합니다 :

염기 스루 1. M = (A + B) / 2.

높이베이스 모서리 후 2 :

• M-H는 A * (ctgα ctgβ +) / 2 =;

• M + H = D * (ctgα ctgβ +) / 2.

높이 및 경사 각도 사이에 스루 3.. 예를 들어, D1 및 D2 - 사다리꼴의 대각선; α, β - 그들 사이의 각도 :

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

M = R / N. : 면적 및 높이 이내 4.