푸리에 시리즈 : 과학 발전에 대한 수학적 메커니즘의 역사와 영향

푸리에 급수 (Fourier series)는 일련의 형태로 특정 기간을 갖는 임의로 취해진 함수의 표현이다. 일반적으로,이 해법은 직교 기초를 따라 요소의 확장이라고 불린다. 푸리에 급수의 함수 확장은 통합, 차별화, 그리고 인수와 컨볼 루션에 대한 표현식의 변화에서 주어진 변환의 특성으로 인해 다양한 문제를 해결하는 데 상당히 강력한 도구입니다.

수학에 익숙하지 않은 사람이나 프랑스 과학자 푸리에 (Fourier)의 작품에 익숙하지 않은 사람은 어떤 종류의 "순위"가 필요한지, 필요한지 이해하지 못할 것입니다. 그럼에도 불구하고 이러한 변화는 우리 삶에서 매우 치밀 해졌습니다. 수학자뿐만 아니라 물리학 자, 화학자, 의사, 천문학 자, 지진 학자, 해양 학자 등 많은 사람들이 사용합니다. 우리 시대에 앞서 발견 한 위대한 프랑스 과학자의 작품에 대해서도 알게하십시오.

인간과 푸리에 변환

푸리에 (Fourier) 시리즈는 푸리에 변환 의 (분석 및 기타와 함께) 방법 중 하나입니다 . 이 과정은 사람이 소리를들을 때마다 발생합니다. 우리의 귀에는 음파 가 자동으로 자동 모드로 변환됩니다 . 탄성 매체에서 기본 입자의 진동 운동은 다른 높이의 음에 대한 음량 레벨의 연속 값의 시리즈로 분해됩니다 (스펙트럼에 따라). 또한 뇌는 이러한 데이터를 우리에게 친숙한 소리로 바꿉니다. 이 모든 것은 우리의 욕망이나 의식 이외에 일어납니다. 그러나 이러한 과정을 이해하기 위해서는 더 높은 수학을 공부하는 데 몇 년이 걸릴 것입니다.

푸리에 변환에 대한 추가 정보

푸리에 변환은 분석적, 수치 적 및 다른 방법으로 수행 될 수 있습니다. 푸리에 급수 (Fourier series)는 해양 조류와 빛의 파도에서부터 태양 (그리고 다른 천체의) 활동 사이클에 이르기까지 모든 진동 과정을 수치 적으로 분해하는 방법을 가리킨다. 이러한 수학적 기법을 사용하여 모든 진동 프로세스를 일련의 사인파 구성 요소로 나타내는 함수를 구문 분석 할 수 있습니다.이 함수는 최소값에서 최대 값으로 이동합니다. 푸리에 변환은 특정 주파수에 해당하는 사인 곡선의 위상 및 진폭을 설명하는 함수입니다. 이 프로세스는 열, 빛 또는 전기 에너지의 작용하에 발생하는 동적 프로세스를 설명하는 매우 복잡한 방정식을 풀 때 사용할 수 있습니다. 푸리에 시리즈는 또한 복잡한 진동 신호에서 일정한 성분을 분리 할 수있게하여 의학, 화학 및 천문학에서 얻어진 실험 관측치를 정확하게 해석 할 수있게합니다.

역사적 배경

이 이론의 창시자는 프랑스의 수학자 Jean Baptiste Joseph Fourier입니다. 그의 이름은 나중에이 변형이라고 불렀다. 처음에 과학자는 그의 방법을 사용하여 열 전도성의 메커니즘을 연구하고 설명했습니다. 고체에서 열이 전파되었습니다. 푸리에 (Fourier)는 열 파의 초기 불규칙한 분포가 각각 고유 한 온도 최소값과 최대 값을 갖는 단순 사인 곡선으로 분해 될 수 있으며, 또한 위상을 제안했다. 이 경우 각 구성 요소는 최소값에서 최대 값으로 측정되며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 각 고조파의 위상뿐만 아니라 곡선의 상한 및 하한 피크를 설명하는 수학 함수를 온도 분포 표현식의 푸리에 변환이라고합니다. 이론의 저자는 수학적으로 설명하기 어려운 일반 분포 함수를 처리하기 매우 쉬운 일련의 주기 코사인 함수 와 사인 함수로 축소하여 초기 분포를 제공합니다.

동시대의 변화와 관점의 원리

과학자의 동시대 인 - 19 세기 초의 수학자를 이끌었던 -이 이론을 받아들이지 않았습니다. 주요 반대점은 푸리에 (Fourier) 주장으로 직선이나 찢어짐 곡선을 묘사하는 불연속 함수는 연속적인 사인파 표현식의 합으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 Heiside의 "단계"를 고려할 수 있습니다 : 그 값은 불연속 점의 왼쪽에 0이고 오른쪽에 하나입니다. 이 함수는 회로가 닫힐 때의 시간 변수에 대한 전류의 의존성을 설명합니다. 그 당시 동시대의 사람들은 불 연속적 표현이 지수 함수, 사인 곡선, 선형 또는 이차 함수와 같은 연속적이고 일반적인 함수의 조합으로 기술 될 때 비슷한 상황을 겪지 않았다.

푸리에 이론에서 프랑스의 수학자들은 당혹 스러웠습니다.

수학자가 자신의 말에 옳다면 무한한 삼각 함수 푸리에 시리즈를 요약하면 많은 단계가 있어도 단계 식을 정확하게 나타낼 수 있습니다. 19 세기 초반, 그러한 성명서는 터무니없는 것처럼 보였습니다. 그러나 모든 의심에도 불구하고, 많은 수학자들은이 현상을 연구하는 범위를 열 전도율 연구의 한계를 넘어서서 확장했습니다. 그러나 대부분의 과학자들은 "사인 곡선 시리즈의 합이 불연속 함수의 정확한 값에 수렴 할 수 있습니까?"라는 질문에 계속해서 고통을 겪고 있습니다.

푸리에 시리즈의 수렴 : 예

수렴의 문제는 무한 수의 숫자를 합칠 필요가있을 때마다 제기됩니다. 이 현상을 이해하기 위해 고전적인 예를 생각해 봅시다. 각 후속 단계가 이전 단계의 절반 인 경우 벽에 도달 할 수 있습니까? 목표에서 2 미터, 첫 번째 단계는 중간 지점에서, 다음 지점에서 3/4 지점까지, 그리고 다섯 번째 지점 이후부터는 거의 97 %를 극복 할 것입니다. 그러나 몇 단계를 거치더라도 엄밀한 수학적 의미에서 의도 한 목표를 달성하지 못합니다. 수치 계산을 사용하면 결국 임의로 작은 미리 결정된 거리에 접근 할 수 있음을 알 수 있습니다. 이 증거는 1 초, 1 / 4 등의 총 가치가 단일성을 나타내는 경향이 있음을 증명하는 것과 동일합니다.

수렴의 문제 : 재림, 또는 켈빈의 장치

반복적으로이 질문은 푸리에 급수가 조수와 조수의 강도를 예측하려고 시도한 19 세기 말에 제기되었다. 현재 켈빈 경 (Kelvin)은 군대와 상선 선원이이 자연 현상을 추적 할 수있게 해주는 아날로그 계산 장치 인 장치를 발명했습니다. 이 메커니즘은 해면 높이 테이블과 해당 연도의 항구에서 조심스럽게 측정 된 해당 시점에서 위상과 진폭의 세트를 결정합니다. 각 매개 변수는 조수의 높이 표현의 사인파 구성 요소이며 일반 구성 요소 중 하나였습니다. 측정 결과는 Kelvin 계산 장치에 입력되어 다음 해의 임시 기능으로 수위를 예측 한 곡선을 합성합니다. 세계의 모든 항구에 대해 매우 빨리 커브가 작성되었습니다.

그리고 프로세스가 불연속 함수에 의해 손상되면?

그 당시 수많은 계수 요소를 가진 해일을 예측하는 장치가 많은 수의 위상 및 진폭을 계산할 수 있었고 더 정확한 예측을 제공 할 수 있다는 것이 명백 해 보였다. 그럼에도 불구하고 합성되어야 할 조석 표정이 날카로운 도약을 포함하는 경우, 즉 불연속적인 경우에는 이러한 규칙 성이 관찰되지 않는다는 것이 밝혀졌다. 장치가 시간의 테이블로부터 데이터를 입력하는 경우, 여러 개의 푸리에 계수를 계산합니다. 원본 함수는 사인 곡선 구성 요소 (찾은 계수에 따라)로 인해 복원됩니다. 원본과 복원 된 표현 사이의 불일치는 언제든지 측정 할 수 있습니다. 반복 계산 및 비교를 수행 할 때 가장 큰 오류 값이 감소하지 않음이 분명합니다. 그러나 그것들은 불연속 점에 해당하는 지역에 국한되어 있으며, 다른 어떤 지점에서는 0이되는 경향이 있습니다. 1899 년이 결과는 이론적으로 예일대의 Joshua Willard Gibbs에 의해 확인되었습니다.

퓨리에 급수의 수렴과 수학의 발전

푸리에 분석은 특정 간격에서 무한 수의 버스트를 포함하는 식에는 적용 할 수 없습니다. 일반적으로 Fourier 시리즈는 원래 함수가 실제 물리적 차원의 결과로 표시되는 경우 항상 수렴합니다. 특정 기능 부류에 대한이 과정의 수렴에 대한 질문은 예를 들어 일반화 된 기능의 이론과 같이 수학에 새로운 단면이 등장하게했다. 그것은 L. Schwartz, J. Mikusinsky, J. Temple과 같은 이름과 관련이있다. 이 이론의 틀 내에서 Dirac 델타 함수 (점의 극소 점에 집중된 단일 영역의 면적을 설명 함)와 Heaviside의 "단계"와 같은 표현에 대해 명확하고 정확한 이론적 체계가 만들어졌습니다. 이 작업으로 푸리에 시리즈는 직관적 인 개념이 나타나는 방정식 및 문제 (점 충전, 포인트 질량, 자기 쌍극자 및 빔에 집중된 하중)를 해결하는 데 적용 가능하게되었습니다.

푸리에 방식

푸리에 급수는 간섭의 원리에 따라 복잡한 형태를 단순한 형태로 분해하는 것으로 시작합니다. 예를 들어, 열 흐름의 변화는 불규칙한 모양의 단열재로 인한 다양한 장애물을 통과하거나 지구의 표면을 변화시킴으로써 행성의 영향으로 천체 궤도의 변화 인 지진으로 인해 발생합니다. 원칙적으로 단순한 고전적 시스템을 설명하는 비슷한 방정식이 각각의 물결에 대해 초등적으로 풀립니다. Fourier는 간단한 해결책이 더 복잡한 문제를 해결하기 위해 요약 될 수 있음을 보여주었습니다. 수학 언어로 표현 된 푸리에 급수는 코사인과 사인 곡선의 고조파의 합으로 표현식을 표현하는 기법입니다. 따라서이 분석은 "고조파 분석"이라고도합니다.

푸리에 급수는 "컴퓨터 시대"이전의 이상적인 기술입니다.

컴퓨터 기술을 창조하기 전에, 푸리에의 방법은 우리 세계의 파동과 협력 할 때 과학자의 무기고에서 최고의 무기였습니다. 복잡한 형태의 푸리에 급수는 뉴턴 역학의 법칙을 직접 적용 할 수있는 단순한 문제뿐만 아니라 근본적인 방정식을 해결할 수 있습니다. 19 세기 뉴턴 과학의 발견의 대부분은 푸리에 (Fourier) 방법 덕택에 가능 해졌다.

푸리에 시리즈 오늘

컴퓨터의 발달과 함께, 푸리에 변환은 질적으로 새로운 수준으로 상승했습니다. 이 기술은 사실상 과학 및 기술의 모든 영역에 확고하게 자리 잡고 있습니다. 한 예로 디지털 오디오 및 비디오 신호가 있습니다. 그것의 실현은 19 세기 초 프랑스 수학자가 개발 한 이론 덕택에 가능 해졌다. 따라서 복잡한 형태의 푸리에 급수는 우주 공간 연구에 획기적인 발전을 가능하게했습니다. 또한, 이것은 반도체 재료 및 플라즈마, 마이크로 웨이브 음향학, 해양학, 레이더, 지진학의 물리학에 영향을 미쳤습니다.

삼각 푸리에 시리즈

수학에서 푸리에 급수는 임의의 복소 함수를 더 간단한 것의 합으로 표현하는 방법입니다. 일반적으로 그러한 표현의 수는 무한 할 수 있습니다. 이 경우 계산에 숫자가 많이 사용될수록 최종 결과가 더 정확 해집니다. 대부분 삼각 코사인 또는 부비동 기능이 가장 간단한 방법으로 사용됩니다. 이 경우 푸리에 급수를 삼각 함수라고하며 이러한 식의 해법은 고조파의 확장입니다. 이 방법은 수학에서 중요한 역할을합니다. 우선, 삼각법 시리즈는 기능의 연구뿐만 아니라 이미지를위한 수단을 제공합니다. 그것은 이론의 기본 장치입니다. 또한 수학 물리학의 여러 가지 문제를 해결할 수 있습니다. 마지막으로,이 이론은 수학적 분석 의 발전에 기여하여 수학 과학의 매우 중요한 여러 부분 (integrals 이론, 주기적 함수 이론)에 생명을 불어 넣었습니다. 또한, 그것은 세트, 실제 변수의 기능 , 기능 분석 및 고조파 분석을 시작한 다음 이론 의 개발을위한 출발점 역할을했습니다.