러셀의 역설 : 기본 정보, 예를 배합

러셀의 역설은 두 개의 상호 의존적 인 논리 이율배 반이다.

러셀의 역설의 두 가지 형태

논리 세트 모순의 가장 자주 논의 형태. 세트의 일부는 회원 스스로, 그리고 다른 것 같다 - 아니. 모든 세트의 세트는 세트 자체가, 그래서 그 자체를 의미 것으로 보인다. null 또는 빈, 그러나, 그 자체의 구성원이 아니어야합니다. 따라서, 제로 모든 세트의 세트는, 그 자체로 포함되지 않는다. 역설이 발생하면 자체의 구성원의 여부 세트의 질문입니다. 그렇지 않은 경우에만 경우에 가능하다.

또 다른 형태의 역설 특성에 관한 모순이다. 다른 사람이 아닌 반면 일부 속성은, 자신을 가리키는 것으로 보인다. 속성이 고양이가 아닌 그 일 동안 속성 자체가 속성입니다 재산이 될 수 있습니다. 그에게 속하지 않는 특성을 갖는의 특성을 고려하십시오. 그 자체에 적용하면? 또, 가정의 반대해야한다. 역설은 1901 년에 그것을 발견 베르트랑 러셀 (1872-1970)의 이름을 딴되었다.

이야기

열기 러셀은 "수학의 원리"에 그의 작품하는 동안 오류가 발생했습니다. 그는 독립적으로 역설을 발견하지만, 다른 수학자와 에른스트 저멜로 등 집합 이론의 개발자 증거가 데이빗 힐버트, 그 전에 모순의 첫 번째 버전의 알고 있었다가. 러셀은, 그러나, 첫 번째 해결책을 공식화하기 위해 노력하고 완전히 그 중요성을 주셔서 감사합니다 첫 번째, 자신의 출판물에 자세히 역설을 논의 누가 처음이었다. "원리"의 전체 장은이 문제의 논의에 전념하고, 응용 프로그램은 러셀이 해결책으로 제안 된 유형의 이론에 전념했다.

러셀은 세트의 전원이 집합의 설정보다 작은 것을 말한다 칸토어의 집합론을 고려, 거짓말 쟁이의 '역설'을 발견했다. 그것에 요소가 각 요소의 하나의 서브셋 만이 요소를 포함하는 설정되면 도메인의 적어도 한 많은 서브 세트이어야한다. 또한, 칸토어 소자의 수는 서브 세트의 수와 동일하지 않을 수 있음을 증명했다. 같은 번호가 있다면, 그것은 자신의 부분 집합의 요소를 표시 할 ƒ 기능이 존재해야합니다. 동시에 불가능하다는 것을 입증 할 수있다. 다른 사람이하지 않을 수 있습니다 동안 일부 항목은, 그들을 포함하는 기능 ƒ 부분 집합에 표시 될 수 있습니다.

그들이 ƒ을 표시하는 자신의 이미지에 속하지 않는 요소의 일부를 생각해 보자. 그것은 요소의 서브 세트 자체이므로, ƒ 기능은 도메인의 요소에 표시한다. 문제는 다음과 같은 질문이 소자는 ƒ 표시되는 상기 서브 세트에 속하는지 여부에 발생한다는 것이다. 이 속하지 않는 경우에만 가능합니다. 러셀의 역설이 추론 동일한 라인의 예로서 알 수있는 단지 단순화. 세트의 세트 또는 집합 - 더 무엇입니까? 이 세트 자신의 모든 부분 집합으로 더 많은 세트가 있어야 것으로 보인다. 칸토어의 정리에 해당하는 경우, 그때 더 부분 집합이 있어야합니다. 러셀 단순히 간주 자신의 세트를 표시하고 표시되는 세트의 모든 외부 요소들의 세트를 고려 kantoriansky 방식을 적용 하였다. 보기 러셀은 모든 세트, 비의 설정이됩니다.

오류 프레게

"거짓말 쟁이의 역설 '세트의 이론의 역사적 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 그는 전체 집합의 개념은 매우 문제가 있음을 보여 주었다. 그는 또한 각각의 정의 된 조건 또는 조건이 조건을 만족 만 가지의 복수의 존재를 가정 할 수 개념을 의문을 제기했다. 버전 세트로 자연스럽게 확장 - - 속성에 관한 옵션 역설은 부동산의 객관적인 존재, 또는 조건, 또는 조건에 의해 결정 각각에 보편적 적합성에 대해 주장 할 수 있는지에 대한 심각한 의문을 제기했다.

비슷한 가정을 만들었습니다 곧 논리 학자의 작품의 모순과 문제가 발견되었고, 철학자와 수학자. 초기 XX 세기 - 1902 년, 러셀 역설의 변형은, 논리적 인 시스템으로 표현 고틀롭 프레지의 "산술의 기초"의 볼륨 I, 후반 XIX의 논리에 주요 작품 중 하나에 개발 될 수 있다는 것을 발견했다. 프레게의 철학은 많은 "연장"또는 "값 범위"개념으로 이해했다. 개념은 상관 관계의 사람들에게 가장 가까운. 그들은 주어진 조건이나 조건이 존재 할 것으로 예상된다. 그러므로 그 정의 개념에 해당하지 않는 한 세트의 개념이있다. 이이 개념에 의해 정의 된 클래스는이며, 그렇지 않은 경우에만 그 개념을 정의의 적용을받습니다.

러셀의 대응이 가장 흥미로운 중 하나가되었습니다 년 6 월 1902 년이 충돌에 대해 프레게에 쓴 논리의 역사에 대해 이야기했다. 프레게는 즉시 역설의 비참한 결과를 인정했다. 그는 자신의 철학의 속성에 관한 논쟁의 버전 수준의 개념 구분에 의해 해결되었다, 그러나 지적했다.

프레게의 개념은 TRUE로 함수의 인자의 전환으로 이해했다. 개념은 첫 번째 레벨은 제 2 레벨 개념의 목적 그래서 이러한 함수의 인수와 같은 인수로 받아 복용. 따라서, 개념은 인수로 자신을 결코 할 수 있으며, 속성의 관점에서 역설 공식화 할 수 없습니다. 그럼에도 세트 확장 또는 개념 프레게 모든 다른 오브젝트와 동일한 논리 형태를 언급하는 것으로 이해. 그런 다음 모든 세트에 대해 그것을 정의의 개념에 해당하는지 여부 질문이있다.

프레게는 러셀이 첫 글자 "산술의 기초"의 두 번째 볼륨을 받았을 때 이미 인쇄가 완료됩니다. 그는 빠르게 러셀의 역설에 대한 답변을 제공하는 응용 프로그램을 준비하도록 강요했다. 예 프레게 가능한 솔루션의 수를 함유 하였다. 그러나 그는 논리적 시스템의 추상화 세트의 개념을 약화 결론에 도달했다.

원본에서는이 개념에 속하는 경우에만, 그것을 정의하는 경우 개체가 집합에 속한다고 결론을 내릴 수 있었다. 개정 된 시스템은이 복수의 정의의 개념에 속하는하지만, 질문에 설정되지 않으며 경우 경우 개체가 집합에 속한다고 결론을 내릴 수있다. 러셀의 역설이 발생한다.

이 솔루션은, 그러나, 프레게와 완전히 만족하지 않습니다. 그리고이 이유였다. 몇 년 후, 모순의 더 복잡한 형태는 수정 된 시스템에 대한 발견되었습니다. 이런 일이 전에도 그러나 프레게는 자신의 결정을 포기하고 그의 접근 방식은 단순히 쓸모이었다 결론에 도달하는 것, 그리고 그 논리는 세트의없이해야 할 것입니다.

또 다른 사람들은 상대적으로 더 성공적인 대안 솔루션을 제안되었다. 다음은 아래에 설명되어 있습니다.

유형의 이론

그 프레게는 모순에 대한 적절한 응답이 상기에서 주목되었다 집합론 속성 배합 버전이. 프레게의 응답은 역설의 형태로 가장 많이 논의 된 솔루션을 선행했다. 그것은 속성이 다른 유형에 적용됩니다 재산의 유형 것은 그것을 참조하는 항목과 동일한 결코 없다는 사실을 기반으로합니다.

따라서, 심지어 문제가 발생,이 건물은 그 자체에 적용 할 수 있는지 여부. 유형의 이론을 사용하여, 이러한 계층 구조의 요소를 구분 논리 언어. 이미 프레게, 처음으로 사용되지만 그것은 완전히 설명하고 "원칙"의 부속서에 러셀을 입증한다. 유형의 이론은 프레게 수준의 차이보다 더 완전했다. 그녀는 특성이 서로 다른 논리의 유형뿐만 아니라 설정뿐만 아니라 있습니다 공유. 러셀은 다음의 역설의 모순을 해결하기 위해 이론을 입력합니다.

A는 철학적으로 충분하기 위해, 속성 유형의 이론의 도입은 그들이 자신에게 적용 할 수없는 이유를 설명 할 수 있도록 속성의 성격 이론의 개발을 필요로한다. 언뜻보기에, 그것은 자신의 재산을 술어하는 의미가 있습니다. 자기 정체성되는 속성은, 또한 자기 정체성이다, 보인다. 속성은 좋은 즐거운 것 같다. 같은 방식으로, 분명히, 고양이가되는 속성은 고양이 말을 거짓 보인다.

그럼에도 불구하고, 다양한 사상가들은 다른 종류의 분열을 정당화. 러셀은 심지어 자신의 경력에 서로 다른 시간에 서로 다른 설명을했다. 그 부분을 들어, 프레게 수준의 다른 개념의 분리에 대한 근거는 불포화 개념의 이론에서 비롯됩니다. 함수 개념은 본질적으로 불완전하다. 가치를 제공하기 위해, 그들은 인수가 필요합니다. 여전히 인수를 필요로하기 때문에 당신은 동일한 유형의 개념을 술어 단지 하나의 개념 수 있습니다. 이 숫자의 제곱근의 제곱근을 할 수 있지만, 예를 들어, 당신은 제곱근 함수에 제곱근 함수를 사용하고 결과를 얻을 수 없습니다.

보수주의 속성에 대한

다른 가능한 해결책은 임의의 주어진 조건 또는 잘 형성된 술어 아래 역설 특성 부정 속성이 존재한다. 누군가가 전체적으로 모두 객관적이고 독립적 인 요소의 형이상학 적 속성을 피하고 경우에 우리는 명목 역설을 물론, 만약 완전히 피할 수 있습니다.

그러나, 이율배 반을 해결하는 것은 너무 극단적 일 필요는 없다. 논리 고차 시스템은에 따르면, 프레게와 러셀을 개발 개념 원리라는 것을 포함 열려있는 각 공식에 관계없이, 예를 들어 속성이나 개념 공식을 일치 항목 만의 일부로 존재하는 방법 단지. 그들은 상관없이 그들이 얼마나 복잡한 조건이나 조건, 가능한 모든 집합의 속성에 적용되지 않습니다.

그럼에도 불구하고, 등등 붉은 색, 탄력, 친절과 같이, 예를 들어, 포함, 간단한 속성의 목적 존재에 대한 권리를주는, 더 엄격한 형이상학 속성을 취할 수 있었다. D. 당신은 이러한 속성은 친절로, 자신에게 적용 할 수 있습니다 친절.

복잡한 속성 같은 상태는, 예를 들면 열일곱 헤드를 갖는 등의 "속성"하에서 수분 기입 등. D.,이 경우에있어서, 속성을 충족하지 않는 어떠한 소정의 조건이 별도로 이해되지 거부 할 수있다 자신의 속성이 요소를 기존. 따라서, 하나의 단순한 특성의 존재를 부정 할 수-속성, 즉 비 - 투 - 셀프인가 보수적 형이상학 특성을인가함으로써 모순을 회피.

러셀의 역설 : 솔루션

그것은 그의 삶의 끝에서 프레게가 완전히 세트의 논리를 포기하는 것이 관찰되었다 위. 세트의 형태 이율배이 물론 한 용액 : 전체적으로 같은 요소의 존재를 단순한 거부. 또한, 다른 대중적인 선택은 기초가있는 다음과 같습니다있다.

많은 종류의에 대한 이론

앞서 언급 한 바와 같이, 러셀은 다른 유형에 속성이나 개념뿐만 아니라 공유 할 유형의 더 완전한 이론 연주뿐만 아니라 설정합니다. 러셀 별도의 복수의 유닛에 설정 공유 등 별도 개체의 복수의 세트는 오브젝트의 세트로 간주하고, 복수의 세트되지 않은 - .. 세트. 결코 많은 당신이 그 자체의 구성원으로 가질 수, 유형을 즐겼다. 따라서 자신의 구성원이 아닌 모든 집합의 정해진 때문에 그것이 구성원으로 그 자체 위반 유형인지에 대한 질문의 집합에 대해,이 없다. 다시 말하지만, 여기에 문제 유형으로 분단의 철학적 기초를 설명하는 형이상학 세트를 설명하는 것입니다.

충화

1937 년, V. V. Kuayn이 유형의 이론과 유사한 방식으로, 대안 솔루션을 제공하고있다. 그것에 대해 기본 정보입니다.

요소 세트 등. 복수를 찾는 가정이 항상 올바르지 않거나 의미가 있도록 만들어진 분리. 자신의 조건을 정의하는 경우에만 제공 할 수 세트 위반 유형이 아니다. 따라서 Quine 들어, 식 "X는 X의 멤버가 아닌"이 조건을 만족하는 모든 요소 (X)의 세트의 존재를 암시하지 않는 의미있는 문장이다.

이 계층화 된 경우에만 그리고, t. E. 변수는 그 변수를 선행하는 각각의 복수의 특성 발생에 대해 할당 부 변수보다 작은 할당되는 양의 정수를 할당하는 경우 경우,이 시스템의 내용물 일부 개방 화학식 A의 존재 그 후 다음과 같습니다. 수식 문제 세트를 결정하는 데 사용하기 때문에이 블록 러셀의 역설은, 이전과 가변 회원 기호가 unstratified 한 후 같은있다.

그러나 Quine 일관성 "수학적 논리의 새로운 기초를"이라는 결과 시스템, 여부를 결정 아직.

배제

Fraenkel (ZF) - 완전히 다른 접근 방식은 체르 멜로의 이론에서 가져온 것입니다. 여기에서도, 세트의 존재에 제한을 설정합니다. 대신 처음에 모든 개념, 특성, 또는 조건에 대해이 속성을 가진 모든 것들의 집합의 존재를 제안 할 수 있습니다 또는 ZF-이론적으로, 이러한 조건을 충족한다고 생각 러셀과 프레게의 "하향식"접근, 모든 시작 "아래에서 위로."

와 빈 세트의 개별 요소 세트를 형성한다. 따라서, 이전 시스템과 러셀 프레게 FIT는 달리 모든 요소, 심지어 모든 세트를 포함하는 전체 집합에 속하지 않습니다. ZF가 세트의 존재에 엄격한 제한을 설정합니다. 그 어느 것이 명확 가정 또는 반복적 인 프로세스 등을 이용하여 제제화 될 수있는 경우에만 존재할 수있다. D.를

대신 개념 추상화 순 집합이어서, DF는, 분리 또는 "정렬"사용 분리 원리의 조건을 충족하는 경우만 특정 요소 세트에 포함된다는 것을 명시한다. 대신, 기존의 각 세트에 대해, 소정의 조건을 만족하는 예외없이 모든 요소의 세트의 존재를 가정의 Aussonderung는 조건을 만족 원래 세트의 모든 요소들의 서브 세트의 존재를 나타낸다.

그리고 추상화 원리가 온다 : 집합 A는 A의 모든 X의 경우, 다음, 존재하는 경우, X는 만하면 것은 X 만족이 방법 역설 러셀을 해결 조건 C., 이후 우리가 단순히 가정 할 수없는 경우 조건을 만족하는 부분 집합 A,에 속하는 즉, 자신의 구성원이 아닌 모든 집합의 집합입니다.

세트를 많이하는 데, 당신은 선택하거나 자신에 세트, 등없는 사람들로 분할,하지만 전체 집합이 없기 때문에 우리는 모든 세트의 세트를 바인딩되지 않습니다 수 있습니다. 문제를 가정하지 않고 러셀 모순 입증 할 수없는 설정합니다.

다른 솔루션

또, "수학의 원리"시스템 확장 "수학적 논리"Quine뿐만 아니라, 세트의 이론에서 최근 개발 포크 형 이론 이후의 확장 또는 이러한 솔루션의 수정이 있었다, 베르 나이스, 괴델과 폰 노이만했다. 불용성 역설 베르트랑 러셀에 대한 응답을 찾을 수 있는지의 문제는 여전히 논쟁의 문제이다.